Posted by: thomaslundsgaard | januar 7, 2008

Stewart Shapiro – Thinking About Mathematics

\forall x: P(x) \vee \neg P(x)

Jeg har en vis forkærlighed for G. H. Hardy – en af de største matematikere fra Storbritannien i det 20. århundrede, manden der i store træk var ansvarlig for at Englands matematiske forskning kom op på siden af Tysklands (den tids matematiske stormagt), og som brystede sig af at han i løbet af sin lange karriere aldrig havde bidraget med noget som helst brugbart andre steder end i den rene, ikke-anvendte matematik. Han skrev i sin The Mathematicians Apology (som i øvrigt varmt kan anbefales):

“I have never done anything ‘useful’. No discovery of mine has made, or is likely to make, directly or indirectly, for good or ill, the least difference to the amenity of the world.”

Hardy kunne hvile trygt med tanken om, at hans matematiske arbejde var så teoretisk og formelt, at fysikere eller andre klamphuggere ikke kunne stjæle det og bruge det til at opfinde atombomber eller bygge endnu større krigsskibe.

Hardys holdning til matematik har også en anden fordel – de filosofiske problemer, der dukker op når man af og til lægger blyant og papir fra sig og begynder at tænke over hvad man rent faktisk laver, bliver lige knapt så påtrængende. Er man sikker på, at ens matematiske opdagelser kun er til gavn for andre matematikere, at de kun bidrager til den i forvejen uoverskuelige mængde matematiske teorier og ikke siger noget om virkeligheden, behøver man ike bekymre sig helt så meget om et meget fundamentalt spørgsmål: Hvorfor virker matematik så godt? Hvordan kan det være at matematik, der om noget er en mental aktivitet hævet over empiri og eksperimenter, er så pokkers anvendeligt i eksempelvis fysikken, der om noget omhandler vores opfattelse af verden og (mere eller mindre) kun bygger på sansedata? Og endnu vigtigere – og her kunne selv Hardy ikke slippe udenom – hvad handler matematik om? Hvad er tal, funktioner, mængder og andre matematiske konstruktioner? Eksisterer de uafhængigt af den menneskelige bevidsthed, er de mentale konstruktioner, eller skal de ikke ses som andet end blækklatter på et stykke papir?

Allerede Platon havde – ganske utvetydige – ting at sige om sagen. I tråd med sin generelle dualisme fandt han en særlig plads til matematikken i sin ideverden. De havde måske ikke direkte fysisk eksistens – man kunne ikke løbe ind i tallet 4 eller den tomme mængde på sin daglige spadseretur i Athen, men de eksisterende evigt og uforanderligt, uafhængigt af menneskelig aktivitet. Erkendelse af dem var, som det meste anden erkendelse, blot generhvervelse af allerede kendt viden, og dens sammenhæng med resten af ideverdenen gjorde det muligt at forklare hvordan matematikken kunne forklare naturvidenskabelige sammenhænge. Alt sammen ret uproblematisk – forudsat altså, at man accepterer Platons verdensbillede og hans erkendelsesteori, og det var det jo ikke alle hans efterfølgere der gjorde. Allerede Aristoteles forkastede Platons dualisme og foreslog istedet en matematik der snarere fungerede som idealiserede generaliseringer af de observationer vi gjorde. Win a little – mindre metafysik – lose a little – hvordan kommer man fra virkeligheden observationer til den matematiske stringens?

I takt med matematikkens udvikling – især fra Descartes i 1600-tallet og frem – dukkede der nye svar på de gamle spørgsmål op. Ikke at alle matematikere bekymrede sig stort om den filosofiske redelighed bag deres teorier, og en anden vigtig diskussion der dukker op bogen igennem er da også, om matematikeren overhovedet behøver føle sig bundet af hvorvidt hans arbejde kan forsvares og forklares filosofisk, eller det snarere er filosoffens opgave at gå matematikeren (der trods alt må vide hvad han laver) til hånde og underbygge den matematik der nu bliver udviklet – eller om filosoffen bare skal holde sig langt væk. John Stuart Mill, empiriker per excellence, havde en ganske radikal opfattelse af matematikken, og mente ikke blot af al matematik byggede på empiri (og kun det), men dermed også at matematik der ikke havde direkte anvendelighed i bedste fald var meningsløst. Før ham havde Kant forsøgt at forklare hvordan matematik hverken var empirisk eller fuldstændig uafhængigt af erfaringen, men i stedet var et direkte krav for vores evne til at erkende verden – geometrien hang eksempelvis direkte sammen med vores opfattelse af rumlighed (og dermed en forudsætning for at kunne erkende ting der fandt sted i dette rum).

Man omtaler nogle steder matematikken omkring år 1900 som i en foundational crisis – mange grene af matematikken stortrivedes, var blevet gjort mere stringente og udviklede sig hurtigere end nogensinde før, men samtidig havde man opdaget nogle ganske alvorlige paradokser i selve grundlaget for disse fremskridt. Bedst kendt er måske Russells Paradoks – i en by bor er barber, der barberer alle dem der ikke barberer sig selv. Barberer denne barber sig selv? Omsat til mængdelære – en nyopdagelse der lå til grund for mange af den tids matematiske fremskridt – gav dette og lignende problemer, der så igen ansporede til at der blev gravet endnu dybere i grundlaget for matematikken. Forskellige skoler opstod – formalisterne, der, groft sagt, så matematikken som noget der essentielt gik ud på symbolmanipulation og udledning af konsekvenser fra et sæt aksiomer, logicisterne, der prøvede at udlede al matematik ud fra simple, logiske regler,og intuitionisterne, som bare var…mærkelige. Der skete, såvel inden for matematikken som for de bagvedliggende ideer, kolosalle fremskridt, og i store træk er frontlinjerne fra den tids diskussioner stadig trukket skarpt op inden for feltet i dag.

Alt i alt er det en historie, der er præget af enormt mange presserende spørgsmål, og enormt få klare svar. Hver retning har sine egne bud på hvordan de forskellige problemer skal løses (eller undviges), men hvert forsøg på en løsning fører til nye huller som skal lappes. Min gamle filosofilærer sagde at formålet med hans timer ikke var at blive klogere, men blot forvirret på et højere niveau – et udsagn der passer sælsomt godt til Shapiros fremstilling af matematikfilosofiens historie. Man bliver klogere – meget klogere – men mere på selve problemernes struktur og på hvorfor de er så svære løse, end på hvordan de rent faktisk kan løses. Det er vel at forvente, men det er lidt ironisk, når man dybest set har at gøre med en overbygning på matematikken, den videnskab der om nogen opstiller problemer der efterfølgende bliver endegyldigt løst og meget sjældent taget op igen (en vigtig undtagelse er Gödels Ufuldstændighedssætninger, der kan bryste sig af at være et matematisk resultat der rent faktisk har betydning for matematikkens filosofi, og hvis lige man nærmest ikke havde set siden grækerne opdagedede irrationelle tal).

Shapiro gør dog et fantastisk job i at belyse alle sider af sagen. Det er ikke altid nemt, og det er af og til som om Shapiros fremstilling er rodet og har nogle pusseløjerlige gentagelser, men oftest er teksten svær, fordi emnet er svært. Ikke fordi der kræves de store matematiske eller filosofiske forkundskaber – der er ikke meget “egentlig matematik” i bogen, og egentlig faglige termer bliver præsenteret med gode forklaringer og eksempler, men selve emnet er abstrakt og kræver at man tænker en ekstra gang over alt det, man ellers har taget for givet når man har siddet med matematikafleveringerne. Det er vel i sig selv anbefaling nok.

Hardy tog fejl, forresten. Hans arbejde inden for analyse viste sig at kunne bruges inden for kvantefysikken, og hans talteoretiske arbejde lagde fundamentet for mange af de krypteringssystemer der bruger primtal i en eller anden form. Jeg ved ikke helt hvad Hardy ville have syntes om det…

Reklamer

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s

Kategorier

%d bloggers like this: